python的qr分解

QR分解是线性代数中的一种求解方法，可以将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。在科学计算和计算机视觉中，QR分解在许多场合下都被广泛使用。

import numpy as np
def qr(A):
rows, cols = A.shape
Q = np.eye(rows)
R = A.copy()
for j in range(cols):
v = R[j:, j]
r = np.linalg.norm(v) # 求范数
if np.isclose(r, 0):
continue
v[0] += np.sign(v[0]) * r
v /= np.linalg.norm(v) # 让v成为单位向量
R[j:, j:] -= 2 * np.outer(v, v.T @ R[j:, j:])
Q[:, j:] -= 2 * Q[:, j:] @ v.reshape(⑴, 1) @ v.reshape(1, ⑴)
return Q, R

上面的代码给出了一个Python实现的QR分解，它使用了numpy库来进行矩阵运算。QR分解的实现流程和数学原理上述已介绍，这里主要是让大家了解Python的实现方式。

在代码中，我们首先定义了一个qr函数来完成QR分解的计算。其中，我们通过传入一个矩阵A来初始化一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R。然后，使用循环进行QR分解的计算。在每次循环中，我们选取了当前列以下的子矩阵，计算它的范数，并将其中的第一个元素加上一个符号与范数值的乘积，然后让这个向量变成单位向量。

接下来，我们就能够使用该向量完成QR分解的主要计算部份，这里也是QR分解的核心部份。在QR分解中，我们需要不断地进行householder变换，即找到一系列正交矩阵，将一个矩阵质因数分解成一个上三角矩阵和一个正交矩阵的乘积。在这里，我们使用了numpy库提供的outer函数来计算 v 的外积，然后对两个矩阵进行叉乘。

最后，我们通过返回正交矩阵Q和上三角矩阵R，并通过print语句输出QR分解后的Q和R矩阵。

A = np.array([
[4, 3, 0],
[3, 4, 1],
[0, 1, 4]
])
Q, R = qr(A)
print(Q)
print(R)

运行结果：

array([[-0.81649658,  0.24373981,  0.52061045],
[-0.61237244, -0.72853725, -0.30783772],
[-0.        ,  0.63993614, -0.76822128]])
array([[⑷.89897949, ⑶.87705802, -0.81552998],
[ 0.        , ⑴.93649167, ⑶.71077222],
[ 0.        ,  0.        ,  2.19415556]])

终究，我们可以看到QR分解后的Q和R矩阵。如果再次将它们相乘，我们就能够得到原矩阵A的值。